ポイントの価値を計算する ヨドバシ編

ポイントの価値を計算する

ポイントのルールを整理する

• z 円の品物をヨドバシカードで購入すると、品物に加えて 0.11z ポイントがついてくる。
• z 円の品物をポイントで購入すると、品物だけ手に入る。

つまり、品物 A を介して次の 2 つの関係式が成立する:

  z [yen] = 品物A + 0.11z [pt] 
  z [pt]  = 品物A

品物A を消去して

  z [yen] - z[pt] = 0.11z [pt]
<=>
  (1+0.11)z [pt] = z[yen]

従って

  1 [pt] = 1/(1.11)[yen] = 0.9009009... [yen].

ヨドバシでの支払いは、カード、ポイントのどちらが得なのか？

y円の品を購入した場合の収支を円建で計算する

ポイントで支払い

支出 y [pt] = (1/1.11) y[yen] = 0.9009...y [yen]
収入 0 [yen]
総支払額 y [pt] = (1/1.11) y[yen]

カードで支払い (11%還元商品の場合)

支出 y [yen]
収入 0.11y [pt] = 0.11x(1/1.11)y [yen] = 0.099099...y [yen]
総支払額 = y [yen] - 0.11y [pt] = (1-0.11/1.11)y [yen] = 1/1.11 y [yen] 

ポイントで支払った場合と最終的な収支は同じである。
ここまでの議論を一般化すると、ヨドバシ方式の場合、平均還元率 a でためたポイントを持っている場合、 品物 A の還元率がちょうど a の場合、 支払いはカードでもポイントでも同じである。

カードで支払い (6%還元商品の場合)

支出 y [yen]
収入 0.06y [pt] = 0.06x(1/1.11)y [yen] = 0.05405...y [yen]
総支払額 = y [yen] - 0.06y [pt] = (1-0.06/1.11)y [yen] = 1.05/1.11 y [yen] > 1/1.11y[yen]

ポイントで支払うよりも、総支払額が多くなる。
一般化すると、平均還元率 a でためたポイントを持っている場合、 品物 A の還元率が a を超える場合は、カードで支払ったほうが得で、 還元率が a を下回る場合、ポイントで支払ったほうが得である。